phase shiftと量子力学の散乱の計算について

はじめに
仮定と用いる公式
計算方法
具体的な問題設定
計算結果
まとめ

はじめに

量子力学で散乱理論をやった時に、

式は追えたけど、何が起こっているかがわからなかった。
Born近似を用いた計算、低エネルギー極限、高エネルギー極限の場合以外の例を知らず、実際の現象に対するイメージがわからなかった。
特にphase shiftの意味がわからなかった。

などと納得できない部分が多かったが、計算機を用いた散乱理論の計算と可視化をすることで、散乱理論の使い方がある程度はっきりしてきたので

一般のポテンシャルに対して散乱断面積を計算する方法
phase shiftを用いた散乱断面積の式の有用性

についてまとめる。

なお、この記事における式や計算方法はThijssen著 Computational Physics第2章の内容を参考にしています。また、途中式や主張が間違っている/不正確という点があれば教えていただけるとありがたいです。

仮定と用いる公式

細かい公式の導出は

Thijssen著 Computational Physics 2.3節
J.J. Sakurai著 Modern Quantum Mechanics

などの教科書を参照して下さい。ここでは、大まかなストーリーと計算物理的に重要な式の列挙にとどめます。

3次元の球対称ポテンシャル $V(r)$ によって質量 $m$ の粒子が散乱される状況を考える。

このとき、入射方向周りの回転対称性より、波動関数は

$\psi(\boldsymbol{r}) = \sum_{l=0}^\infty A_l \dfrac{u_l(r)}{r} P_l(\cos\theta)$

と表すことができる。Schroedinger方程式

$\left(-\dfrac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(r)\right)\psi(\boldsymbol{r}) = E\psi(\boldsymbol{r})$

に代入すると、 $u_l(r)$ のみたす方程式は

$\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2}{dr^2}u_l(r) = \left( V(r) + \dfrac{\hbar^2 l(l+1)}{2mr^2} - E \right)u_l(r)$

と計算できる。 $r\to\infty$ で、 $\frac{1}{r^2},V(r)$ はともに0に収束するので、 $u_l(r)$ は $r\to \infty$ の極限で正弦曲線へ漸近することがわかる。この漸近形をの位相を用いて $l$ 次のphase shift $\delta_l$ が

$u_l(r) \simeq \sin(kr - \frac{l\pi}{2} + \delta_l)$

と定義される。

この時、微分散乱断面積と全散乱断面積はphase shiftを用いて

$\dfrac{d\sigma}{d\Omega} = |\sum_{l=0}^\infty (2l+1)e^{i\delta_l} \sin(\delta_l)P_l(\cos\theta)|^2$

$\sigma_{tot} = \dfrac{4\pi}{k^2}\sum_{l=0}^\infty (2l+1)\sin^2\delta_l$

と表されることが知られている。

計算方法

$u_l(r)$ が原点で特異的な振る舞いをしないことを要請すると、方程式

$\dfrac{\hbar^2}{2m}\dfrac{d^2}{dr^2}u_l(r) = \left( V(r) + \dfrac{\hbar^2 l(l+1)}{2mr^2} - E \right)u_l(r)$

は定数倍を除いて数値的に解くことができる。 *1

ここで、 $V(r)$ が十分小さくなる領域まで微分方程式の解を積分し、漸近形

$\dfrac{u_l(r)}{r} \propto \cos(\delta_l)j_l(kr)-\sin(\delta_l)n_l(kr)$

を用いるとphase shiftが計算できる。*2

具体的な問題設定

ここでは、Thijssen著 Computational Physics2章に載っていた例である、Lennard-Jonesポテンシャルを仮定したKr原子によるH原子の散乱を考える。

$V(r)= \epsilon \left(\left(\dfrac{\rho}{r}\right)^{12} - \left(\dfrac{\rho}{r}\right)^6 \right)$

where

$\epsilon = 5.9$ meV

$\rho =0.357 \nu$ m

計算結果

まず、「遠心力の効果」を取り入れた有効ポテンシャル

$F(l,r) = V(r) + \dfrac{\hbar^2 l(l+1)}{2mr^2} - E$

を異なる $l$ に対してプロットすると、次の図のようになる。これを見るとわかる通り、 $l$ が大きくなると、遠心力の効果がポテンシャルの効果よりも強くなり、相対的にポテンシャルの効果が弱まると考えられる。

f:id:AiRy:20190210020447p:plain — 異なる $l$ に対する有効ポテンシャルのプロット

また、 $l=0,8$ に対して動径方向の波動関数と $j_l(kr)$ (の定数倍)をプロットしたものを以下の図に示した。

これより、 $l$ が大きくなると、動径方向の波動関数の立ち上がりが遅くなることがわかる。これは、 $j_l(x)\sim x^l (x\sim 0)$ であることや、 $l$ が大きくなると原点付近の有効ポテンシャル $F(l,r)$ が大きくなり、波動関数が大きい値を持つことができないことと関係している。したがって、 $l$ が大きい時、波動関数は $r\sim 0$ でほぼ0なので、相互作用ポテンシャルの形状に依存しなくなる。

f:id:AiRy:20190210020719p:plain — $l=0$ の場合の動径方向の波動関数と $j_0(kr)$ との比較

f:id:AiRy:20190210020739p:plain — $l=8$ の場合の動径方向波動関数と $j_8(kr)$ の定数倍との比較

以上の議論より、 $l\to \infty$ で[\delta_l\to 0]が成立することが定性的に確かめられた。

最も手計算でよく用いられるBorn近似は、実質的には摂動論なので、 $n$ 番目の項は $\left(\frac{V}{E}\right)^2$ 程度にと考えられるなる。よって、Born近似は入射粒子の運動エネルギーに比べて相互作用が強い場合に収束が遅くなる、もしくは発散する。それに対して、phase shiftを用いた展開の場合は、 $\delta_l$ が遠心力ポテンシャルに対する相互作用に対する相互作用ポテンシャルの大きさに対応すると考えると、 $l$ に関する展開項は $l$ が大きくなると0に収束する。よって、phase shiftを用いた展開は通常の摂動論とは全く別のアイデアに基づいており、*3収束性という点から数値計算に適した非常に有用な式であると言える。